Ответы олимпиада Формула Единства 9 10 11 класс
Добавлено: 05 ноя 2025, 14:14
Международная математическая олимпиада
«Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
2025-2026 учебный год. Отборочный этап
Получить ответы на все задания можно по ссылке: https://t.me/otvety_perechnevye_olimpiady
9 класс
1. У Ирины есть 289 монет из нескольких стран. Она разложила их поровну в несколько коробок,
причём в каждой коробке лежат монеты (более одной штуки) только одной страны. Известно,
что белорусские монеты составляют более 6% от общего количества, испанские — более 12%,
эквадорские — более 24%, и русские — более 36%. Сколько у Ирины может быть китайских
монет? Найдите все варианты. ( Л. С. Корешкова)
2. В каждой клетке таблицы 3 × 5 стоит натуральное число. При этом все числа различны, но
суммы во всех строках одинаковы и во всех столбцах тоже одинаковы. Какова минимально
возможная сумма чисел в таблице? ( А. А. Теслер)
3. На острове радиусом 40 км находятся несколько колодцев. Колодец называется отдалённым,
если на расстоянии ближе 25 км от него нет ни моря, ни другого колодца. Какое максимальное
количество отдалённых колодцев может быть на острове? ( А. А. Теслер)
4. Какому нечётному числу может быть равен НОД чисел 2025+1 и 5202+1, где — натуральное
число? Укажите все возможности и докажите, что других нет. ( С. П. Павлов)
5. Дан разносторонний тупоугольный треугольник с целыми сторонами. Через вершину
тупого угла провели прямую, параллельную , и отметили точки пересечения этой прямой
с биссектрисами углов и как и . Чему равно , если = 4? ( П. Д. Муленко)
6. Квиз состоит из нескольких вопросов (более одного), причём в каждом вопросе одинаковое
число вариантов ответа. Если на очередной вопрос выбирается неправильный ответ, вы про-
игрываете. Однако у вас есть одна «запасная жизнь» на весь квиз: при первом выборе непра-
вильного ответа вы не выбываете, а можете исправиться и дать ещё один ответ на тот же во-
прос (если и второй ответ неверен — вы проигрываете). Вероятность пройти квиз, выбирая
ответы наугад, равна 2/81. Сколько в квизе вопросов и сколько вариантов ответа в каждом во-
просе? ( П. Д. Муленко)
7. Павел Дмитриевич владеет заводом по производству сувенирных календарей.
Календарь изготавливается из двух кубиков и наклеек с цифрами: надо накле-
ить на каждую грань обоих кубиков по наклейке так, чтобы с их помощью
можно было сложить любой день месяца (то есть любое число от 01 до 31;
на рисунке представлен пример числа 18). Завод гордится тем, что каждое его изделие отли-
чается от других. Сколько всего различных календарей может выпустить завод?
Два календаря считаются одинаковыми, если для каждого кубика из первого календаря есть
такой же кубик во втором. В свою очередь, два кубика одинаковы, если можно поставить их
рядом так, чтобы с каждой из шести сторон они выглядели одинаково, то есть на них были
одинаковые наклейки в одинаковом положении. Наклейки с цифрами 0 и 8 имеют центр сим-
метрии, остальные — нет. ( М. В. Карлукова)
Скачать ответы
10 класс
1. Укажите все номера годов текущего десятилетия (с 2021 по 2030), которые можно представить
суммой одно-, двух-, трёх- и четырёхзначного чисел так, чтобы каждая цифра была использо-
вана один раз. ( С. П. Павлов)
2. Клетчатое поле 13 × 13 состоит из 169 единичных клеток. Сергей поставил на нём четырёх не
бьющих друг друга ферзей. Оказалось, что центры клеток, в которых стоят ферзи, образуют
ромб. Обязательно ли этот ромб является квадратом? ( С. П. Павлов)
3. В каждой клетке таблицы 4 × 5 стоит натуральное число. При этом все числа различны, но
суммы во всех строках одинаковы и во всех столбцах тоже одинаковы. Какова минимально
возможная сумма чисел в таблице? ( А. А. Теслер)
4. В окружность вписан шестиугольник , в котором = = . Отрезок пере-
секает и в точках и соответственно, а отрезок пересекает и в точках и
соответственно. Оказалось, что прямые и пересекаются в точке , лежащей на , а
также пересекают эту окружность в точках и . Докажите, что = . ( О. А. Пяйве)
5. Попугай Роза знает все четыре звука своего имени и умеет произносить «слова» длиной от
1 до звуков. При этом она не умеет произносить два одинаковых звука подряд. Сколько
разных «слов» может сказать Роза? Запишите ответ в замкнутой форме (без многоточий и
знаков суммирования). ( О. С. Третьякова)
6. В окружность вписаны три различных остроугольных треугольника (общих вершин у тре-
угольников нет). Докажите, что можно выбрать по одной вершине из каждого треугольника
так, чтобы три выбранные точки образовали треугольник, у которого все углы не превышают
90 градусов. ( Л. С. Корешкова)
7. Паша и Варя играют в такую игру. Каждый игрок своим ходом отмечает на плоскости точ-
ку, пока не будут отмечены 2025 точек (начинает и заканчивает игру Паша). После этого Варя
должна заплатить Паше столько рублей, сколько вершин имеет выпуклая оболочка получен-
ного множества точек. Для какого максимального у Паши существует стратегия, позволяю-
щая получить не менее рублей при любой игре Вари?
Выпуклая оболочка конечного множества точек — это наименьший по включению
многоугольник, содержащий их. Справа показано множество из 9 точек и его вы-
пуклая оболочка — четырёхугольник. ( А. А. Теслер)
Скачать ответы
11 класс
1. Все десять цифр разбили на пары и в каждой вычислили разность (вычитая из большей циф-
ры меньшую). Какой наибольшей степени двойки может равняться произведение всех этих
разностей? ( С. П. Павлов)
2. В окружность вписан шестиугольник , в котором = = . Отрезок пере-
секает и в точках и соответственно, а отрезок пересекает и в точках и
соответственно. Оказалось, что прямые и пересекаются в точке , лежащей на , а
также пересекают эту окружность в точках и . Докажите, что = . ( О. А. Пяйве)
3. Один и тот же прямоугольник является сечением двух разных кубов. Каково максимально
возможное отношение объёмов этих кубов? ( А. А. Теслер)
4. В каждой клетке таблицы 4 × 2025 стоит натуральное число. При этом все числа различны, но
суммы во всех строках одинаковы и во всех столбцах тоже одинаковы. Какова минимально
возможная сумма чисел в таблице? ( А. А. Теслер)
5. Если в волшебный автомат ввести натуральное число > 1, то он строит клетчатый квад-
рат × , удаляет из него одну клетку и рисует такие фигуры до тех пор, пока их суммарная
площадь не станет равна площади какого-нибудь клетчатого квадрата. Сторону этого ново-
го квадрата автомат возвращает обратно. Например, по карточке с цифрой 5 автомат строит
квадрат 5 × 5 без одной клетки, повторяет его 6 раз (получается 144 клетки, что равно 12 2 ) и
возвращает число 12. Всего автомат работал 10 раз. Может ли количество цифр в числе на по-
следней получившейся карточке быть в 1024 раза больше, чем на изначальной?
( П. Д. Муленко, А. А. Теслер)
6. Павел Дмитриевич владеет заводом по производству сувенирных календарей.
Календарь изготавливается из двух кубиков и наклеек с цифрами: надо накле-
ить на каждую грань обоих кубиков по наклейке так, чтобы с их помощью
можно было сложить любой день месяца (то есть любое число от 01 до 31;
на рисунке представлен пример числа 18). Завод гордится тем, что каждое его изделие отли-
чается от других. Сколько всего различных календарей может выпустить завод?
Два календаря считаются одинаковыми, если для каждого кубика из первого календаря есть
такой же кубик во втором. В свою очередь, два кубика одинаковы, если можно поставить их
рядом так, чтобы с каждой из шести сторон они выглядели одинаково, то есть на них были
одинаковые наклейки в одинаковом положении. Наклейки с цифрами 0 и 8 имеют центр сим-
метрии, остальные — нет. ( М. В. Карлукова)
7. Паша и Варя играют в такую игру. Каждый игрок своим ходом отмечает на плоскости точ-
ку, пока не будут отмечены 2025 точек (начинает и заканчивает игру Паша). После этого Варя
должна заплатить Паше столько рублей, сколько вершин имеет выпуклая оболочка получен-
ного множества точек. Для какого максимального у Паши существует стратегия, позволяю-
щая получить не менее рублей при любой игре Вари?
Выпуклая оболочка конечного множества точек — это наименьший по включению
многоугольник, содержащий их. Справа показано множество из 9 точек и его вы-
пуклая оболочка — четырёхугольник. ( А. А. Теслер)
Скачать ответы
«Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
2025-2026 учебный год. Отборочный этап
Получить ответы на все задания можно по ссылке: https://t.me/otvety_perechnevye_olimpiady
9 класс
1. У Ирины есть 289 монет из нескольких стран. Она разложила их поровну в несколько коробок,
причём в каждой коробке лежат монеты (более одной штуки) только одной страны. Известно,
что белорусские монеты составляют более 6% от общего количества, испанские — более 12%,
эквадорские — более 24%, и русские — более 36%. Сколько у Ирины может быть китайских
монет? Найдите все варианты. ( Л. С. Корешкова)
2. В каждой клетке таблицы 3 × 5 стоит натуральное число. При этом все числа различны, но
суммы во всех строках одинаковы и во всех столбцах тоже одинаковы. Какова минимально
возможная сумма чисел в таблице? ( А. А. Теслер)
3. На острове радиусом 40 км находятся несколько колодцев. Колодец называется отдалённым,
если на расстоянии ближе 25 км от него нет ни моря, ни другого колодца. Какое максимальное
количество отдалённых колодцев может быть на острове? ( А. А. Теслер)
4. Какому нечётному числу может быть равен НОД чисел 2025+1 и 5202+1, где — натуральное
число? Укажите все возможности и докажите, что других нет. ( С. П. Павлов)
5. Дан разносторонний тупоугольный треугольник с целыми сторонами. Через вершину
тупого угла провели прямую, параллельную , и отметили точки пересечения этой прямой
с биссектрисами углов и как и . Чему равно , если = 4? ( П. Д. Муленко)
6. Квиз состоит из нескольких вопросов (более одного), причём в каждом вопросе одинаковое
число вариантов ответа. Если на очередной вопрос выбирается неправильный ответ, вы про-
игрываете. Однако у вас есть одна «запасная жизнь» на весь квиз: при первом выборе непра-
вильного ответа вы не выбываете, а можете исправиться и дать ещё один ответ на тот же во-
прос (если и второй ответ неверен — вы проигрываете). Вероятность пройти квиз, выбирая
ответы наугад, равна 2/81. Сколько в квизе вопросов и сколько вариантов ответа в каждом во-
просе? ( П. Д. Муленко)
7. Павел Дмитриевич владеет заводом по производству сувенирных календарей.
Календарь изготавливается из двух кубиков и наклеек с цифрами: надо накле-
ить на каждую грань обоих кубиков по наклейке так, чтобы с их помощью
можно было сложить любой день месяца (то есть любое число от 01 до 31;
на рисунке представлен пример числа 18). Завод гордится тем, что каждое его изделие отли-
чается от других. Сколько всего различных календарей может выпустить завод?
Два календаря считаются одинаковыми, если для каждого кубика из первого календаря есть
такой же кубик во втором. В свою очередь, два кубика одинаковы, если можно поставить их
рядом так, чтобы с каждой из шести сторон они выглядели одинаково, то есть на них были
одинаковые наклейки в одинаковом положении. Наклейки с цифрами 0 и 8 имеют центр сим-
метрии, остальные — нет. ( М. В. Карлукова)
Скачать ответы
10 класс
1. Укажите все номера годов текущего десятилетия (с 2021 по 2030), которые можно представить
суммой одно-, двух-, трёх- и четырёхзначного чисел так, чтобы каждая цифра была использо-
вана один раз. ( С. П. Павлов)
2. Клетчатое поле 13 × 13 состоит из 169 единичных клеток. Сергей поставил на нём четырёх не
бьющих друг друга ферзей. Оказалось, что центры клеток, в которых стоят ферзи, образуют
ромб. Обязательно ли этот ромб является квадратом? ( С. П. Павлов)
3. В каждой клетке таблицы 4 × 5 стоит натуральное число. При этом все числа различны, но
суммы во всех строках одинаковы и во всех столбцах тоже одинаковы. Какова минимально
возможная сумма чисел в таблице? ( А. А. Теслер)
4. В окружность вписан шестиугольник , в котором = = . Отрезок пере-
секает и в точках и соответственно, а отрезок пересекает и в точках и
соответственно. Оказалось, что прямые и пересекаются в точке , лежащей на , а
также пересекают эту окружность в точках и . Докажите, что = . ( О. А. Пяйве)
5. Попугай Роза знает все четыре звука своего имени и умеет произносить «слова» длиной от
1 до звуков. При этом она не умеет произносить два одинаковых звука подряд. Сколько
разных «слов» может сказать Роза? Запишите ответ в замкнутой форме (без многоточий и
знаков суммирования). ( О. С. Третьякова)
6. В окружность вписаны три различных остроугольных треугольника (общих вершин у тре-
угольников нет). Докажите, что можно выбрать по одной вершине из каждого треугольника
так, чтобы три выбранные точки образовали треугольник, у которого все углы не превышают
90 градусов. ( Л. С. Корешкова)
7. Паша и Варя играют в такую игру. Каждый игрок своим ходом отмечает на плоскости точ-
ку, пока не будут отмечены 2025 точек (начинает и заканчивает игру Паша). После этого Варя
должна заплатить Паше столько рублей, сколько вершин имеет выпуклая оболочка получен-
ного множества точек. Для какого максимального у Паши существует стратегия, позволяю-
щая получить не менее рублей при любой игре Вари?
Выпуклая оболочка конечного множества точек — это наименьший по включению
многоугольник, содержащий их. Справа показано множество из 9 точек и его вы-
пуклая оболочка — четырёхугольник. ( А. А. Теслер)
Скачать ответы
11 класс
1. Все десять цифр разбили на пары и в каждой вычислили разность (вычитая из большей циф-
ры меньшую). Какой наибольшей степени двойки может равняться произведение всех этих
разностей? ( С. П. Павлов)
2. В окружность вписан шестиугольник , в котором = = . Отрезок пере-
секает и в точках и соответственно, а отрезок пересекает и в точках и
соответственно. Оказалось, что прямые и пересекаются в точке , лежащей на , а
также пересекают эту окружность в точках и . Докажите, что = . ( О. А. Пяйве)
3. Один и тот же прямоугольник является сечением двух разных кубов. Каково максимально
возможное отношение объёмов этих кубов? ( А. А. Теслер)
4. В каждой клетке таблицы 4 × 2025 стоит натуральное число. При этом все числа различны, но
суммы во всех строках одинаковы и во всех столбцах тоже одинаковы. Какова минимально
возможная сумма чисел в таблице? ( А. А. Теслер)
5. Если в волшебный автомат ввести натуральное число > 1, то он строит клетчатый квад-
рат × , удаляет из него одну клетку и рисует такие фигуры до тех пор, пока их суммарная
площадь не станет равна площади какого-нибудь клетчатого квадрата. Сторону этого ново-
го квадрата автомат возвращает обратно. Например, по карточке с цифрой 5 автомат строит
квадрат 5 × 5 без одной клетки, повторяет его 6 раз (получается 144 клетки, что равно 12 2 ) и
возвращает число 12. Всего автомат работал 10 раз. Может ли количество цифр в числе на по-
следней получившейся карточке быть в 1024 раза больше, чем на изначальной?
( П. Д. Муленко, А. А. Теслер)
6. Павел Дмитриевич владеет заводом по производству сувенирных календарей.
Календарь изготавливается из двух кубиков и наклеек с цифрами: надо накле-
ить на каждую грань обоих кубиков по наклейке так, чтобы с их помощью
можно было сложить любой день месяца (то есть любое число от 01 до 31;
на рисунке представлен пример числа 18). Завод гордится тем, что каждое его изделие отли-
чается от других. Сколько всего различных календарей может выпустить завод?
Два календаря считаются одинаковыми, если для каждого кубика из первого календаря есть
такой же кубик во втором. В свою очередь, два кубика одинаковы, если можно поставить их
рядом так, чтобы с каждой из шести сторон они выглядели одинаково, то есть на них были
одинаковые наклейки в одинаковом положении. Наклейки с цифрами 0 и 8 имеют центр сим-
метрии, остальные — нет. ( М. В. Карлукова)
7. Паша и Варя играют в такую игру. Каждый игрок своим ходом отмечает на плоскости точ-
ку, пока не будут отмечены 2025 точек (начинает и заканчивает игру Паша). После этого Варя
должна заплатить Паше столько рублей, сколько вершин имеет выпуклая оболочка получен-
ного множества точек. Для какого максимального у Паши существует стратегия, позволяю-
щая получить не менее рублей при любой игре Вари?
Выпуклая оболочка конечного множества точек — это наименьший по включению
многоугольник, содержащий их. Справа показано множество из 9 точек и его вы-
пуклая оболочка — четырёхугольник. ( А. А. Теслер)
Скачать ответы