Ответы ВсОШ Взлёт: математика, 8 класс — Московская область, 26.09.2026
Добавлено: 26 сен 2026, 12:13
Олимпиада ВсОШ Взлет Математика 8 класс ответы и задания 26.09.2026. Школьный этап олимпиады ВсОШ по Математике для 8 класса. Всероссийская олимпиада школьников по математике ответы и задания.
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников (ВсОШ) по математике для 8 класса прошел 26 сентября 2026 года в Московской области на платформе образовательного центра «Взлёт». В комплект олимпиадных заданий вошли задачи: логический круг «Рыцари и лжецы», инвариант «Одно число», совместная работа «Три косаря», геометрическая задача «Сумма отрезков», движение по реке в «Речная прогулка», свойства разрядов в «Загадочное число», перебор в «Фестиваль» и числовой ребус «Хитрая цифра».
Быстрый переход к вариантам:
Вариант 1 | Вариант 2| Вариант 3| Вариант 4| Вариант 5
___________________________________________________________
ВАРИАНТ 1
ЗАДАНИЕ 1. Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 60 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 60 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
ЗАДАНИЕ 2. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 50 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b - 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
ЗАДАНИЕ 3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея — Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич — в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 63% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 6 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 64% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН. Оказалось, что АН = ВС + СН и угол АВС равен 78°. Найдите остальные углы треугольника АВС.
1. Сколько градусов составляет угол ВАС?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
ЗАДАНИЕ 5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 2 часа, а обратно, против течения, за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
ЗАДАНИЕ 6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 80982. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
На фестиваль пришёл 1501 гость. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
ЗАДАНИЕ 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 1 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n — некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11. В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными, но обратите внимание, что если выбрано неверное утверждение и/или не выбрано верное, балл снижается:
• 4
• 5
• 6
• 8
• 9
• 10
• 11
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
___________________________________________________________
ВАРИАНТ 2
ЗАДАНИЕ 1. Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 54 жителя этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 54 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 54 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 54 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
ЗАДАНИЕ 2. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 100 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа а и в и написать вместо них одно число а +6 - 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
ЗАДАНИЕ 3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея — Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич — в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 42% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 9 часов накосить на том же лугу 60% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 20% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН. Оказалось, что АН = ВС + СН и угол АВС равен 75°. Найдите остальные углы треугольника АВС.
1. Сколько градусов составляет угол ВАС?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
ЗАДАНИЕ 5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 3 часа, а обратно, против течения, за 5 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
ЗАДАНИЕ 6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 72963. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
На фестиваль пришли 2025 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
ЗАДАНИЕ 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 0 и получил трёхзначное число, которое оказалось в п раз больше исходного, причём п — некоторое натуральное число, которое больше 1 и меньше 10.
1. Чему могло быть равно п? Выберите все возможные верные варианты для п от 2 до 9. В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными, но обратите внимание, что если выбрано неверное утверждение и/или не выбрано верное, балл снижается.
• 2
• 3
• 5
• 7
• 8
• 9
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений п). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
___________________________________________________________
ВАРИАНТ 3
ЗАДАНИЕ 1. Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 48 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 48 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 48 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 48 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
ЗАДАНИЕ 2. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 99 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа а и в и написать вместо них одно число а +6 - 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
ЗАДАНИЕ 3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея — Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич — в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 2,4 часа накосить на лугу около дворца 12% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 15 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 50% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН. Оказалось, что АН = ВС + СН и угол АВС равен 72°. Найдите остальные углы треугольника АВС.
1. Сколько градусов составляет угол ВАС?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
ЗАДАНИЕ 5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 5 часов, а обратно, против течения, за 7 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
ЗАДАНИЕ 6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 53955. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
На фестиваль пришли 2026 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
ЗАДАНИЕ 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 2 и получил трёхзначное число, которое оказалось в п раз больше исходного, причём п — некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
1. Чему могло быть равно п? Выберите все возможные верные варианты для п от 4 до 11. В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными, но обратите внимание, что если выбрано неверное утверждение и/или не выбрано верное, балл снижается.
• 4
• 5
• 6
• 8
• 9
• 10
• 11
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений п). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
___________________________________________________________
ВАРИАНТ 4
ЗАДАНИЕ 1. Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 42 жителя этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 42 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 42 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 42 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
ЗАДАНИЕ 2. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа а и в и написать вместо них одно число а +6 - 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
ЗАДАНИЕ 3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея — Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич — в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 2,25 часа накосить на лугу около дворца 36% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 1,2 часов накосить на том же лугу 16% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 80% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН. Оказалось, что АН = ВС + СН и угол ABC равен 81°. Найдите остальные углы треугольника АВС.
1. Сколько градусов составляет угол ВАС?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
ЗАДАНИЕ 5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 7 часов, а обратно, против течения, за 9 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
ЗАДАНИЕ 6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 34947. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
На фестиваль пришли 2026 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 8 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
ЗАДАНИЕ 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 3 и получил трёхзначное число, которое оказалось в п раз больше исходного, причём п — некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
1. Чему могло быть равно п? Выберите все возможные верные варианты для п от 4 до 11. В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными, но обратите внимание, что если выбрано неверное утверждение и/или не выбрано верное, балл снижается.
• 4
• 5
• 6
• 8
• 9
• 10
• 11
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений п). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
___________________________________________________________
ВАРИАНТ 5
ЗАДАНИЕ 1. Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 36 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 36 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 36 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 36 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
ЗАДАНИЕ 2. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 75 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа а и в и написать вместо них одно число а +6 - 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
ЗАДАНИЕ 3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея — Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич — в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 5,5 часа накосить на лугу около дворца 11% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 15 часов накосить на том же лугу 25% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 80% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН. Оказалось, что АН = ВС + СН и угол АВС равен 84°. Найдите остальные углы треугольника АВС.
1. Сколько градусов составляет угол ВАС?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
ЗАДАНИЕ 5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 4 часа, а обратно, против течения, за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
ЗАДАНИЕ 6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 37917. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
На фестиваль пришли 2136 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
ЗАДАНИЕ 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 9 и получил трёхзначное число, которое оказалось в п раз больше исходного, причём п — некоторое натуральное число, которое больше 11 и меньше 19.
1. Чему могло быть
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников (ВсОШ) по математике для 8 класса прошел 26 сентября 2026 года в Московской области на платформе образовательного центра «Взлёт». В комплект олимпиадных заданий вошли задачи: логический круг «Рыцари и лжецы», инвариант «Одно число», совместная работа «Три косаря», геометрическая задача «Сумма отрезков», движение по реке в «Речная прогулка», свойства разрядов в «Загадочное число», перебор в «Фестиваль» и числовой ребус «Хитрая цифра».
Быстрый переход к вариантам:
Вариант 1 | Вариант 2| Вариант 3| Вариант 4| Вариант 5
Полные ответы и решения скрыты
Полный комплект заданий, критерии оценивания и файлы решений для всех вариантов 8 класса загружены в наш Telegram-канал.
Открыть ответы в TelegramЗАДАНИЕ 1. Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 60 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 60 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
ЗАДАНИЕ 2. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 50 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b - 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
ЗАДАНИЕ 3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея — Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич — в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 63% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 6 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 64% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ключ к заданию №3: Три косаря
Ответ →
ЗАДАНИЕ 4. Сумма отрезковВ остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН. Оказалось, что АН = ВС + СН и угол АВС равен 78°. Найдите остальные углы треугольника АВС.
1. Сколько градусов составляет угол ВАС?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
ЗАДАНИЕ 5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 2 часа, а обратно, против течения, за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
ЗАДАНИЕ 6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 80982. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
Ключ к заданию №6: Загадочное число
Ответ →
ЗАДАНИЕ 7. ФестивальНа фестиваль пришёл 1501 гость. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
ЗАДАНИЕ 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 1 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n — некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11. В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными, но обратите внимание, что если выбрано неверное утверждение и/или не выбрано верное, балл снижается:
• 4
• 5
• 6
• 8
• 9
• 10
• 11
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
Полные ответы и решения скрыты
Все ответы, ключи и решения заданий 1–8 первого варианта выложены в Telegram.
Открыть ответы в TelegramЗАДАНИЕ 1. Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 54 жителя этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 54 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 54 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 54 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
ЗАДАНИЕ 2. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 100 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа а и в и написать вместо них одно число а +6 - 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
ЗАДАНИЕ 3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея — Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич — в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 42% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 9 часов накосить на том же лугу 60% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 20% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ключ к заданию №3: Три косаря
Ответ →
ЗАДАНИЕ 4. Сумма отрезковВ остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН. Оказалось, что АН = ВС + СН и угол АВС равен 75°. Найдите остальные углы треугольника АВС.
1. Сколько градусов составляет угол ВАС?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
ЗАДАНИЕ 5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 3 часа, а обратно, против течения, за 5 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
ЗАДАНИЕ 6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 72963. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
Ключ к заданию №6: Загадочное число
Ответ →
ЗАДАНИЕ 7. ФестивальНа фестиваль пришли 2025 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
ЗАДАНИЕ 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 0 и получил трёхзначное число, которое оказалось в п раз больше исходного, причём п — некоторое натуральное число, которое больше 1 и меньше 10.
1. Чему могло быть равно п? Выберите все возможные верные варианты для п от 2 до 9. В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными, но обратите внимание, что если выбрано неверное утверждение и/или не выбрано верное, балл снижается.
• 2
• 3
• 5
• 7
• 8
• 9
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений п). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
Полные ответы и решения скрыты
Все ответы, ключи и решения заданий 1–8 второго варианта выложены в Telegram.
Открыть ответы в TelegramЗАДАНИЕ 1. Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 48 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 48 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 48 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 48 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
ЗАДАНИЕ 2. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 99 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа а и в и написать вместо них одно число а +6 - 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
ЗАДАНИЕ 3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея — Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич — в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 2,4 часа накосить на лугу около дворца 12% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 15 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 50% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ключ к заданию №3: Три косаря
Ответ →
ЗАДАНИЕ 4. Сумма отрезковВ остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН. Оказалось, что АН = ВС + СН и угол АВС равен 72°. Найдите остальные углы треугольника АВС.
1. Сколько градусов составляет угол ВАС?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
ЗАДАНИЕ 5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 5 часов, а обратно, против течения, за 7 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
ЗАДАНИЕ 6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 53955. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
Ключ к заданию №6: Загадочное число
Ответ →
ЗАДАНИЕ 7. ФестивальНа фестиваль пришли 2026 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
ЗАДАНИЕ 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 2 и получил трёхзначное число, которое оказалось в п раз больше исходного, причём п — некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
1. Чему могло быть равно п? Выберите все возможные верные варианты для п от 4 до 11. В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными, но обратите внимание, что если выбрано неверное утверждение и/или не выбрано верное, балл снижается.
• 4
• 5
• 6
• 8
• 9
• 10
• 11
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений п). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
Полные ответы и решения скрыты
Все ответы, ключи и решения заданий 1–8 третьего варианта выложены в Telegram.
Открыть ответы в TelegramЗАДАНИЕ 1. Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 42 жителя этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 42 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 42 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 42 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
ЗАДАНИЕ 2. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа а и в и написать вместо них одно число а +6 - 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
ЗАДАНИЕ 3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея — Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич — в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 2,25 часа накосить на лугу около дворца 36% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 1,2 часов накосить на том же лугу 16% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 80% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ключ к заданию №3: Три косаря
Ответ →
ЗАДАНИЕ 4. Сумма отрезковВ остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН. Оказалось, что АН = ВС + СН и угол ABC равен 81°. Найдите остальные углы треугольника АВС.
1. Сколько градусов составляет угол ВАС?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
ЗАДАНИЕ 5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 7 часов, а обратно, против течения, за 9 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
ЗАДАНИЕ 6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 34947. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
Ключ к заданию №6: Загадочное число
Ответ →
ЗАДАНИЕ 7. ФестивальНа фестиваль пришли 2026 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 8 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
ЗАДАНИЕ 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 3 и получил трёхзначное число, которое оказалось в п раз больше исходного, причём п — некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
1. Чему могло быть равно п? Выберите все возможные верные варианты для п от 4 до 11. В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными, но обратите внимание, что если выбрано неверное утверждение и/или не выбрано верное, балл снижается.
• 4
• 5
• 6
• 8
• 9
• 10
• 11
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений п). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
Полные ответы и решения скрыты
Все ответы, ключи и решения заданий 1–8 четвёртого варианта выложены в Telegram.
Открыть ответы в TelegramЗАДАНИЕ 1. Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 36 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 36 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 36 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 36 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
ЗАДАНИЕ 2. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 75 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа а и в и написать вместо них одно число а +6 - 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
ЗАДАНИЕ 3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея — Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич — в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 5,5 часа накосить на лугу около дворца 11% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 15 часов накосить на том же лугу 25% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 80% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ключ к заданию №3: Три косаря
Ответ →
ЗАДАНИЕ 4. Сумма отрезковВ остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН. Оказалось, что АН = ВС + СН и угол АВС равен 84°. Найдите остальные углы треугольника АВС.
1. Сколько градусов составляет угол ВАС?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
ЗАДАНИЕ 5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 4 часа, а обратно, против течения, за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
ЗАДАНИЕ 6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 37917. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
Ключ к заданию №6: Загадочное число
Ответ →
ЗАДАНИЕ 7. ФестивальНа фестиваль пришли 2136 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
ЗАДАНИЕ 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 9 и получил трёхзначное число, которое оказалось в п раз больше исходного, причём п — некоторое натуральное число, которое больше 11 и меньше 19.
1. Чему могло быть