Ответы олимпиада ВсОШ, Взлет и Сириус

Олимпиада ВсОШ Взлет Математика 11 класс ответы и задания 26.09.2026. Школьный этап олимпиады ВсОШ по Математике для 11 класса. Всероссийская олимпиада школьников по математике ответы и задания.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников (ВсОШ) по математике для 11 класса прошел 26 сентября 2026 года в Московской области на платформе образовательного центра «Взлёт». В комплект олимпиадных заданий вошли задачи: «Коэффициенты многочлена», чевианы в «Разбиение треугольника», тригонометрическая функция «Колебания», рукопожатия в «Очень дружный класс», ГМТ в задаче «Минимальное расстояние», рекуррентная «Последовательность», делимость на 99 в «Одинаковые цифры» и теория вероятностей в задаче «Рожки».

Быстрый переход к вариантам:
Вариант 1 | Вариант 2| Вариант 3| Вариант 4| Вариант 5
___________________________________________________________ ВАРИАНТ 1

ЗАДАНИЕ 1. Коэффициенты многочлена
Многочлен Р(х) = (2x² - x - 1)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ... + a₁₆.

1. Найдите сумму a₀ + a₁ + ... + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ... + a₁₆.

ЗАДАНИЕ 2. Разбиение треугольника
На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС выбраны соответственно точки А', В' и С' так, что отрезки АА', BB' и СС' пересекаются в точке М. Оказалось, что площади треугольников АМВ' и АМС' равны 5, а площадь треугольника ВМС' равна 10.

1. Найдите площадь треугольника МСВ'.
2. Найдите площадь треугольника АВС.

ЗАДАНИЕ 3. Колебания
Пусть f(x) = sin(x + π/8) · sin(x + 3π/8) · sin(x + 5π/8) · sin(x + 7π/8).

1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) - f(y).
ЗАДАНИЕ 4. Очень дружный класс
В одном очень дружном классе, состоящем из 24 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.

1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.

ЗАДАНИЕ 5. Минимальное расстояние
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки М и N, что углы ∠АМВ и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка МN равно 4. Найдите периметр исходного шестиугольника.

ЗАДАНИЕ 6. Последовательность
Последовательность {an} задана условиями a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, ...
Известно, что a₂₀₂₆ = 1 / N, где N — некоторое натуральное число.

1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
ЗАДАНИЕ 7. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из восьмёрок. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра — не восьмёрка, а все остальные — восьмёрки.

1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений B.

ЗАДАНИЕ 8. Рожки
Пятеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.

1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой — наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
___________________________________________________________ ВАРИАНТ 2

ЗАДАНИЕ 1. Коэффициенты многочлена
Многочлен Р(х) = (2x² - 2x - 1)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ... + a₁₆.

1. Найдите сумму a₀ + a₁ + ... + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ... + a₁₆.

ЗАДАНИЕ 2. Разбиение треугольника
На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС выбраны соответственно точки А', В' и С' так, что отрезки АА', BB' и СС' пересекаются в точке М. Оказалось, что площади треугольников АМВ' и АМС' равны 1, а площадь треугольника ВМС' равна 2.

1. Найдите площадь треугольника МСВ'.
2. Найдите площадь треугольника АВС.

ЗАДАНИЕ 3. Колебания
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x - π/4) · sin(x - 3π/4).

1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) - f(y).
ЗАДАНИЕ 4. Очень дружный класс
В одном очень дружном классе, состоящем из 28 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.

1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.

ЗАДАНИЕ 5. Минимальное расстояние
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки М и N, что углы ∠АМВ и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка МN равно 5. Найдите периметр исходного шестиугольника.

ЗАДАНИЕ 6. Последовательность
Последовательность {an} задана условиями a₁ = 1/4, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, ...
Известно, что a₂₀₂₆ = 1 / N, где N — некоторое натуральное число.

1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
ЗАДАНИЕ 7. Одинаковые цифры
Натуральное число А кратно 99, а его десятичная запись состоит только из семёрок. Натуральное число В кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра — не семёрка, а все остальные — семёрки.

1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа А? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа В? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений В.

ЗАДАНИЕ 8. Рожки
Семеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.

1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой — наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
___________________________________________________________ ВАРИАНТ 3

ЗАДАНИЕ 1. Коэффициенты многочлена
Многочлен Р(х) = (x² - 2x - 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ... + a₁₆.

1. Найдите сумму a₀ + a₁ + ... + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ... + a₁₆.

ЗАДАНИЕ 2. Разбиение треугольника
На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС выбраны соответственно точки А', В' и С' так, что отрезки АА', BB' и СС' пересекаются в точке М. Оказалось, что площади треугольников АМВ' и АМС' равны 2, а площадь треугольника ВМС' равна 4.

1. Найдите площадь треугольника МСВ'.
2. Найдите площадь треугольника АВС.

ЗАДАНИЕ 3. Колебания
Пусть f(x) = sin(x - π/4) · sin(x - 3π/4) · sin(x - 5π/4) · sin(x - 7π/4).

1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) - f(y).
ЗАДАНИЕ 4. Очень дружный класс
В одном очень дружном классе, состоящем из 23 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.

1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.

ЗАДАНИЕ 5. Минимальное расстояние
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки М и N, что углы ∠АМВ и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка МN равно 3. Найдите периметр исходного шестиугольника.

ЗАДАНИЕ 6. Последовательность
Последовательность {an} задана условиями a₁ = 1/7, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, ...
Известно, что a₂₀₂₆ = 1 / N, где N — некоторое натуральное число.

1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
ЗАДАНИЕ 7. Одинаковые цифры
Натуральное число А кратно 99, а его десятичная запись состоит только из четвёрок. Натуральное число В кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра — не четвёрка, а все остальные — четвёрки.

1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа А? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа В? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений В.

ЗАДАНИЕ 8. Рожки
Восемь ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.

1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой — наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
___________________________________________________________ ВАРИАНТ 4

ЗАДАНИЕ 1. Коэффициенты многочлена
Многочлен Р(х) = (2x² - x - 3)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ... + a₁₆.

1. Найдите сумму a₀ + a₁ + ... + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ... + a₁₆.

ЗАДАНИЕ 2. Разбиение треугольника
На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС выбраны соответственно точки А', В' и С' так, что отрезки АА', BB' и СС' пересекаются в точке М. Оказалось, что площади треугольников АМВ' и АМС' равны 3, а площадь треугольника ВМС' равна 6.

1. Найдите площадь треугольника МСВ'.
2. Найдите площадь треугольника АВС.

ЗАДАНИЕ 3. Колебания
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x - π/4) · sin(x - 3π/4) · sin(x - 5π/4).

1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) - f(y).
ЗАДАНИЕ 4. Очень дружный класс
В одном очень дружном классе, состоящем из 22 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.

1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.

ЗАДАНИЕ 5. Минимальное расстояние
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки М и N, что углы ∠АМВ и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка МN равно 2. Найдите периметр исходного шестиугольника.

ЗАДАНИЕ 6. Последовательность
Последовательность {an} задана условиями a₁ = 1/10, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, ...
Известно, что a₂₀₂₆ = 1 / N, где N — некоторое натуральное число.

1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
ЗАДАНИЕ 7. Одинаковые цифры
Натуральное число А кратно 99, а его десятичная запись состоит только из двоек. Натуральное число В кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра — не двойка, а все остальные — двойки.

1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа А? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа В? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений В.

ЗАДАНИЕ 8. Рожки
Шестеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.

1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой — наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
___________________________________________________________ ВАРИАНТ 5

ЗАДАНИЕ 1. Коэффициенты многочлена
Многочлен Р(х) = (2x² - x - 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ... + a₁₆.

1. Найдите сумму a₀ + a₁ + ... + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ... + a₁₆.

ЗАДАНИЕ 2. Разбиение треугольника
На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС выбраны соответственно точки А', В' и С' так, что отрезки АА', BB' и СС' пересекаются в точке М. Оказалось, что площади треугольников АМВ' и АМС' равны 4, а площадь треугольника ВМС' равна 8.

1. Найдите площадь треугольника МСВ'.
2. Найдите площадь треугольника АВС.

ЗАДАНИЕ 3. Колебания
Пусть f(x) = sin(x - π/4) · sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4).

1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) - f(y).
ЗАДАНИЕ 4. Очень дружный класс
В одном очень дружном классе, состоящем из 30 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.

1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.

ЗАДАНИЕ 5. Минимальное расстояние
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки М и N, что углы ∠АМВ и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка МN равно 1. Найдите периметр исходного шестиугольника.

ЗАДАНИЕ 6. Последовательность
Последовательность {an} задана условиями a₁ = 1/13, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, ...
Известно, что a₂₀₂₆ = 1 / N, где N — некоторое натуральное число.

1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
ЗАДАНИЕ 7. Одинаковые цифры
Натуральное число А кратно 99, а его десятичная запись состоит только из единиц. Натуральное число В кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра — не единица, а все остальные — единицы.

1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа А? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа В? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений В.

ЗАДАНИЕ 8. Рожки
Девять ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.

1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой — наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».