Ответы олимпиада ВсОШ муниципальный - МАТЕМАТИКА Московская область

[otv_helpers]

8.11.2025 — Олимпиада ВсОШ Математика 5 6 7 8 9 10 11 класс ответы и задания муниципальный этап. Ответы и решения на все задания олимпиада по Астрономии школьный этап 2025 официальной всероссийской олимпиады школьников ВСОШ дата проведения 8 ноября в школе.

Получить ответы на все задания можно по ссылке: https://t.me/olimpiada_otvety

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ
МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП
2025-2026 учебный год
11 класс
Инструкция по выполнению заданий:
Вам предлагается решить математические задачи, записать в каждой из них ответ и
привести его обоснование (нужно записать полное развёрнутое решение). Задачи можно
решать в любом порядке. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от
0 до 7. Время выполнения заданий - 235 минут.
11.1. Среди 14 человек 7 лжецов (они всегда лгут) и 7 рыцарей (они всегда
говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 7 из них
положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка.
Могло ли оказаться, что 7 из них ответили «да», а 7 ответили «нет»?11.2. Дана тройка последовательных неоднозначных простых чисел таких, что
их среднее арифметическое – также простое число. Докажите, что эти числа
образуют арифметическую прогрессию, разность которой делится на 6.11.3. Петя вырезал из картона 19 треугольников, у каждого из которых одна из
сторон (будем называть её основанием) равна 2, а две другие (будем называть
их боковыми сторонами) – целочисленные. Затем он сложил эти треугольники
так, что их вершины совпали, а основания образовали 19-звенную
пространственную замкнутую ломаную. Докажите, что если у одного из
треугольников есть боковая сторона длины 25, то сумма периметров всех
треугольников не меньше 808.11.4. На тригонометрической окружности отметили вершины правильного 28-
угольника, причём одна вершина попала в точку (1; 0). Два игрока по очереди
красят по одной вершине своим цветом. Дважды красить вершины нельзя. Игра
заканчивается, когда покрашены все вершины. После чего первый игрок
считает сумму 𝑆1 – сумму модулей синусов углов, соответствующих точкам,
покрашенным цветом первого игрока. Второй игрок считает сумму 𝑆2 – сумму
модулей косинусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом
второго игрока. Если 𝑆1 > 𝑆2, то выигрывает первый игрок. Иначе выигрывает
второй. Кто выигрывает при правильной игре?11.5. Верно ли, что у уравнения 𝑎3 − 𝑏3 = 𝑐4 есть решение в натуральных
числах такое, что 𝑐 > 52025?

Получить ответы на все задания можно по ссылке: https://t.me/olimpiada_otvety

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ
МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП
2025-2026 учебный год
10 класс
Инструкция по выполнению заданий:
Вам предлагается решить математические задачи, записать в каждой из них ответ и
привести его обоснование (нужно записать полное развёрнутое решение). Задачи можно
решать в любом порядке. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от
0 до 7. Время выполнения заданий - 235 минут.
10.1. На доску выписывают последовательность цифр
121122111222111122221… Сколько единиц будет записано на позициях с 1 по
10101 включительно, считая слева?10.2. На городских соревнованиях по велосипедному спорту была придумана
следующая схема проведения заездов: спортсмены вначале все едут
одинаковое время – полчаса, а затем без остановки – дополнительное время,
начисляемое по правилу: каждый получает в заезде дополнительное
количество минут, равное расстоянию, которое он проехал за первые полчаса,
измеренному в км. При подведении итогов выяснилось, что Василий за первые
полчаса проехал на 6 км больше, чем Алексей, а по окончании заездов – на 11
км больше, чем Алексей. Найдите скорости езды Василия и Алексея, если эти
скорости были постоянными.10.3. При некотором значении параметра q уравнение (𝑥2 + 10𝑥 + 𝑞)(𝑥2 +
10𝑥 + 𝑞 + 18) = 0 имеет четыре различных корня, и эти корни образуют
арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой
прогрессии?10.4. Выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Известно, что
𝐴𝐵 = 10, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 25 и 𝐴𝐷 = 50. Известно, что сумма углов 𝐴 и 𝐷 этого
четырёхугольника меньше 180°. Чему может равняться эта сумма?10.5. Артём задумал действительные числа 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎15. После чего он в
некотором порядке выписал какие-то из произведений (возможно, все) 𝑎1𝑎2𝑎3,
𝑎2𝑎3𝑎4, … , 𝑎13𝑎14𝑎15, 𝑎14𝑎15𝑎1, 𝑎15𝑎1𝑎2. Получился ряд из нечётных
натуральных чисел 1, 3, 5, 7, … , 2𝑘 + 1. Какое наибольшее 𝑘 могло у него
получиться?

Получить ответы на все задания можно по ссылке: https://t.me/olimpiada_otvety

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ
МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП
2025-2026 учебный год
9 класс
Инструкция по выполнению заданий:
Вам предлагается решить математические задачи, записать в каждой из них ответ и
привести его обоснование (нужно записать полное развёрнутое решение). Задачи можно
решать в любом порядке. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от
0 до 7. Время выполнения заданий - 235 минут.
9.1. Среди 32 человек 16 лжецов (они всегда лгут) и 16 рыцарей (они всегда
говорят правду). Некоторым из них дали монеты, причём каждому – не более
3 монет. После чего у каждого из людей спросили: «Сколько тебе дали монет?».
Было получено 8 ответов «0», 8 ответов «1», 8 ответов «2» и 8 ответов «3».
Какое наибольшее количество монет могли суммарно дать всем этим 32
людям?9.2. Существуют ли 18 последовательных натуральных чисел таких, что и
суммы цифр этих чисел образуют 18 последовательных натуральных чисел (не
обязательно записанных по порядку)?9.3. При решении уравнения (𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑐)(𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑐) = 0, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 –
некоторые натуральные числа, причём 𝑎 > 𝑏, Катя обнаружила, что уравнение
имеет четыре корня, и эти корни являются последовательными натуральными
степенями тройки (например, 33, 34, 35, 36). Найдите все простые числа,
которые могут быть делителями числа 3𝑎 − 4𝑏.9.4. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Прямая, проходящая через
точку 𝐴, пересекает отрезки 𝐵𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите,
что окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐵𝑋 и 𝐴𝐶𝑌, касаются.9.5. Можно ли выбрать числа 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎10 так, что произведения 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4,
𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5, … , 𝑎8𝑎9𝑎10𝑎1, 𝑎9𝑎10𝑎1𝑎2, 𝑎10𝑎1𝑎2𝑎3, записанные в некотором
порядке, образовывали последовательные натуральные числа 11, 12, 13, … , 20?

Получить ответы на все задания можно по ссылке: https://t.me/olimpiada_otvety

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ
МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП
2025-2026 учебный год
8 класс
Инструкция по выполнению заданий:
Вам предлагается решить математические задачи, записать в каждой из них ответ и
привести его обоснование (нужно записать полное развёрнутое решение). Задачи можно
решать в любом порядке. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от
0 до 7. Время выполнения заданий - 235 минут.
8.1. Из цифр 0, 1, 2, …, 9 составили два пятизначных числа А и В (все цифры
использованы, на 0 число начинаться не может). Может ли оказаться так, что
число А делится на каждую цифру числа В, кроме 0, а число В делится на
каждую цифру числа А?8.2. Среди 22 человек 11 лжецов (они всегда лгут) и 11 рыцарей (они всегда
говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 11 из них
положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка.
Могло ли оказаться, что 11 из них ответили «да», а 11 ответили «нет»?8.3. На стороне 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбрана точка 𝑃. Оказалось, что угол
𝐴𝑃𝐶 в два раза больше угла 𝐴𝐵𝐶, угол 𝐵𝑃𝐶 в два раза больше угла 𝐵𝐴𝐶.
Найдите 𝑃𝐶, если 𝑀𝑁 = 4, где точка 𝑀 – середина стороны 𝐴𝐶, а точка 𝑁 –
середина стороны 𝐵𝐶.8.4. Олег утверждает, что какие бы 80 попарно различных натуральных чисел
ему не дали, он может выложить их в ряд так, что среди сумм соседних чисел
встретится не менее N составных. Какое наибольшее значение может
принимать N?8.5. Можно ли выбрать числа 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎10 так, что произведения 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4,
𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5, … , 𝑎8𝑎9𝑎10𝑎1, 𝑎9𝑎10𝑎1𝑎2, 𝑎10𝑎1𝑎2𝑎3, записанные в некотором
порядке, образовывали последовательные натуральные числа 21, 22, 23, … , 30?

Получить ответы на все задания можно по ссылке: https://t.me/olimpiada_otvety

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ
МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП
2025-2026 учебный год
7 класс
Инструкция по выполнению заданий:
Вам предлагается решить математические задачи, записать в каждой из них ответ и
привести его обоснование (нужно записать полное развёрнутое решение). Задачи можно
решать в любом порядке. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от
0 до 7. Время выполнения заданий - 235 минут.
7.1. Найдите четыре целых числа таких, что их сумма равна нулю, а
произведение равно 2025.7.2. В кошельке лежали 10 монет достоинством 5 и 10 рублей. Семь ребят
разобрали все монеты, причём каждый взял либо одну монету, либо две. Если
кто-то брал две монеты, то это были монеты разного достоинства. Известно,
что у Пети в итоге оказалось меньше денег, чем у любого другого ребёнка.
Какая сумма могла лежать в кошельке?7.3. Среди 11 человек есть лжецы (они всегда лгут) и рыцари (они всегда
говорят правду). Каждому из них дали несколько конфет, после чего каждый
сказал: «У меня чётное число конфет». После этого некоторые люди дали часть
своих конфет кому-то другому. Может ли оказаться, что теперь каждый может
сказать: «У меня нечётное число конфет»?7.4. Прямоугольник разрезан на равные квадраты. Для каждого из квадратов
посчитали количество квадратов разрезания, имеющих с данным квадратом
общую сторону. Все посчитанные числа сложили и получили сумму, равную
220. Найдите количество квадратов разрезания, если известно, что по крайней
мере один из них не имеет общих точек с границами прямоугольника.7.5. Олег утверждает, что какие бы 50 попарно различных натуральных чисел
ему не дали, он может выложить их в ряд так, что среди сумм соседних чисел
встретится не менее N составных. Какое наибольшее значение может
принимать N?

Получить ответы на все задания можно по ссылке: https://t.me/olimpiada_otvety

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ
МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП
2025-2026 учебный год
6 класс
Инструкция по выполнению заданий:
Вам предлагается решить математические задачи, записать в каждой из них ответ и
привести его обоснование (нужно записать полное развёрнутое решение). Задачи можно
решать в любом порядке. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от
0 до 7. Время выполнения заданий - 180 минут.
6.1. Фигура «пьедестал» составлена из трёх квадратов с длинами сторон 6, 8 и
12 так, как показано на рисунке. Найдите периметр этой фигуры.6.2. У Пети и Коли две одинаковые рабочие тетради, в которых есть рисунок
окружности с отмеченными на ней N точками, делящими окружность на
равные дуги. Две из этих точек на рисунке обозначены А и Б (одинаково в
обеих тетрадях). Петя и Коля занумеровали точки каждый в своей рабочей
тетради номерами от 1 до N. У них обоих нумерация идет по часовой стрелке,
но начальные точки счёта различны. Найдите N, если известно, что у точки А
пятый номер в счёте Пети и двенадцатый номер в счёте Коли, а у точки Б –
наоборот: двенадцатый номер в счёте Пети и пятый номер в счёте Коли.6.3. Артём сопоставил каждой букве русского алфавита число, а каждому слову
(возможно бессмысленному) сопоставил произведение чисел,
соответствующих всем буквам этого слова. Например, если буквам М и А
сопоставлены числа 3 и 1
2, то слову МАМА будет сопоставлено число 9
4. Могло
ли так оказаться, что словам ОДИН, ДВА, ТРИ, …, ДВАДЦАТЬ сопоставлены
числа 1, 2, 3, …, 20 соответственно?6.4. Найдите наибольшее 2025-значное число, у которого каждая цифра, кроме
первой и последней, равна сумме двух соседних с ней цифр, умноженной на
некоторое натуральное число или ноль (этот множитель не обязательно должен
быть один и тот же при получении цифр искомого числа).6.5. Дана таблица 9 × 9. Назовем клетки таблицы соседними, если они имеют
общую сторону. Можно ли расставить в клетки этой таблицы различные
натуральные числа от 10 до 90 так, что сумма чисел, стоящих в любых двух
соседних клетках, не делилась бы на 3?

Получить ответы на все задания можно по ссылке: https://t.me/olimpiada_otvety

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ
МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП
2025-2026 учебный год
5 класс
Инструкция по выполнению заданий:
Вам предлагается решить математические задачи, записать в каждой из них ответ и
привести его обоснование (нужно записать полное развёрнутое решение). Задачи можно
решать в любом порядке. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от
0 до 7. Время выполнения заданий - 180 минут.
5.1. На уроке физкультуры дети выстроились в ряд. Между Петей и Сашей
стоит 7 ребят, а между Сашей и Мишей стоит 9 ребят. Сколько ребят может
стоять между Петей и Мишей?5.2. На доске вначале написано число 123. С числом на доске разрешается
выполнять одну из двух операций: стереть его последнюю цифру, удвоить
число. Четырехзначные числа записывать на доску нельзя. Можно ли получить
на доске число, большее 95?5.3. Алексей хочет купить в магазине несколько одинаковых шоколадок. Цена
каждой шоколадки выражается целым нечётным числом рублей. Если он даст
кассиру купюру в 2000 рублей, он сможет купить 9 шоколадок. Если он
добавит купюру в 200 рублей, то всё равно сможет купить только 9 шоколадок.
Сколько стоит одна шоколадка?5.4. Найдите наибольшее 2025-значное число, у которого каждая цифра, кроме
первой и последней, равна сумме двух соседних с ней цифр, умноженной на
некоторое натуральное число или ноль (этот множитель не обязательно должен
быть один и тот же при получении цифр искомого числа).5.5. Дана таблица 9 × 9. Назовем клетки таблицы соседними, если они имеют
ровно одну общую вершину. Можно ли расставить в клетки этой таблицы
различные натуральные числа от 10 до 90 так, что сумма чисел, стоящих в
любых двух соседних клетках, не делилась бы на 3?

Получить ответы на все задания можно по ссылке: https://t.me/olimpiada_otvety